3.1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть заданы два непустых множества D и E. Если каждой паре значений (x, y) из данной области D соответствует определенное единственное значение
то переменная z называется функцией двух переменных, а x и y называются независимыми переменными, или аргументами. Область D называется областью определения функции, множество
- множеством значений функции. Обозначение функции двух переменных: z = f (x, y), или z = F (x, y), или z = z (x, y).
Частным значением функции z = f (x, y) называют число, соответствующее какой-либо определенной паре значений аргументов.
Для обозначения частного значения функции z = f (x, y) при x = x0 и
y=y0 употребляется символ
или, что то же самое,.
Каж-
дая пара значений аргументов (x, y) геометрически определяет точку Р на плоскости xOy, а значение функции в этой точке есть аппликата z пространственной точки М (x, y, z). Геометрическое место всех точек М есть поверхность, взаимно однозначно проецирующаяся в область D на плоскости xOy (рис. 3.1). Эта поверхность служит геометрическим изображением (графиком) функции f (x, y).
Определение. Переменная величина U называется функцией независимых переменных
если каждой системе значений (x1,
этих переменных из данной области их изменения соответствует единственное значение величины U. Обозначение:
![](https://www.studentlibrary.ru/cgi-bin/mb4x?usr_data=gd-image(doc,ISBN9785970470824-0003,pic_0679.jpg,-1,,00000000,)&hide_Cookie=yes)
или
и т. д.
В случае функции трех переменных пишут
каж-
![](https://www.studentlibrary.ru/cgi-bin/mb4x?usr_data=gd-image(doc,ISBN9785970470824-0003,pic_0682.jpg,-1,,00000000,)&hide_Cookie=yes)
Рис. 3.1. Изображение функции двух переменных в трехмерном пространстве
![](https://www.studentlibrary.ru/cgi-bin/mb4x?usr_data=gd-image(doc,ISBN9785970470824-0003,pic_0683.jpg,-1,,00000000,)&hide_Cookie=yes)
Рис. 3.2. Круговой конус
дая система (x, y, z) значений аргументов определяет некоторую точку М трехмерного пространства.
Пример 1. Выразить объем кругового конуса V как функцию его образующей x и радиуса основания y.
Решение. Объем кругового конуса (рис. 3.2) равен одной трети