Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

2.1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ 2.1.1. Задачи, приводящие к понятию производной

Задача 1 (о скорости движущейся точки).

Пусть материальная точка движется по прямолинейной траектории, которую примем за ось Ох (рис. 2.1).

Положение точки на траектории будет тогда определяться ее

Рис. 2.1. Движение точки вдоль прямолинейной траектории

абсциссой x, которая является функцией времени t: x = f (t) (последнее равенство называется уравнением движения точки).

Пусть в момент времени t₀ движущаяся точка занимала на траектории положениеи имела абсциссу х₀, а по прошествии временипереместилась в положениеи имеет абсциссуТаким образом, если за времяточка не меняла направление движения, то |Ax| - путь, пройденный точкой за времяОчевидно, что

Назовем средней скоростью точки за времяотношение.

Определение. Мгновенной скоростью точки в момент времени t_o назовем предел, к которому стремится средняя скорость точки за промежуток времени, когда:

(2.1)

Пример. Точка свободно падает в пустоте. Вычислить скорость точки в произвольный момент t.

Решение. Уравнение свободного движения (падения) в этом случае имеет вид

Тогда по формуле (2.1) находим:

Задача 2 (о проведении касательной к плоскости кривой).

Пусть М₀ - некоторая точка данной кривой (рис. 2.2).

Возьмем на этой кривой другую точку М и проведем секущую ММ₀ . Пусть теперь точка М приближается вдоль кривой к точке М₀ по любому закону так, что расстояние между этими точками стремится к нулю. Если при этом секущая ММ₀ , поворачиваясь вокруг точки будет приближаться к некоторой прямой М₀ Т так, что угол между прямыми и будет стремиться к нулю, то прямая называется касательной к данной кривой в точке

Заметим, что не всякая кривая обладает в каждой своей точке касательной. Прямая М₀Т будет касательной к кривой в точке М₀, если секущая ММ₀ всегда стремится в указанном смысле к этой единственной прямой М₀Т, по какому бы закону точка М ни стремилась по кривой к точке М₀.