Глава 1. Функции. Предел функции

1.1. Числовые множества

Одним из основных понятий математики является понятие множества. Под множеством понимается совокупность предметов, объединенных общим для них свойством. Примером множества является группа студентов первого курса, лекарства, относящиеся к антибиотикам, книги по данной специальности, граждане одной национальности и т. п. Каждый объект множества называется его элементом и обозначается малыми буквами латинского алфавита a, b, c, x, y, z, а множества элементов - большими буквами A, B, C, X, Y, Z. Если некоторый объект x является элементом множества Х, пишут x ∈ X.

Определение

Множество Х называется подмножеством множества Y, если каждый элемент множества Х является элементом множества Y.

Например, препараты, относящиеся к антидепрессантам, являются подмножеством психотропных средств.

Множества, состоящие из чисел, называются числовыми.

Целые положительные числа называются натуральными. Они обозначаются буквой N. Натуральные числа, а также целые отрицательные числа и ноль, взятые вместе, образуют множество целых чисел. Обозначаются буквой Z. Целые, положительные и отрицательные, ноль, а также дробные числа составляют множество рациональных чисел Q. Причем дробные числа записываются в виде конечной десятичной или бесконечной десятичной периодической дроби. Бесконечные десятичные непериодические дроби относятся к множеству иррациональных чисел. Множества рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел R.

Между действительными числами и числовой осью имеется взаимно однозначное соответствие.

Определение

Числовой осью называется прямая, на которой выбрано начало отсчета 0, направление и масштаб.

Рис. 1.1. Числовая ось

Каждому действительному числу а н ачисловой оси соответствует точка М с координатой а. Причем положительные числа находятся справа от начала координат, отрицательные - слева, а при а = 0 точка М совпадает с началом координат (рис. 1.1).