Глава 4. Функции нескольких аргументов

§ 4.1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ

До сих пор мы рассматривали функции одного аргумента, или одной независимой переменной x. Однако при описании различных процессов часто встречаются величины, которые зависят сразу от нескольких переменных. Например, площадь S прямоугольника равна S = a ? b, где a и b - длины его сторон. Площадь S можно рассматривать как функцию двух независимых переменных a и b. Объем V цилиндра, вычисляемый по формуле V = πR²H, где R - радиус основания, H - высота цилиндра, является функцией двух независимых переменных R и H. Далее мы ограничимся рассмотрением функций двух независимых переменных (аргументов), которые мы будем обозначать x и y. Все результаты легко распространить на функции многих (трех и более) аргументов. Дадим определение функции двух аргументов.

Определение. Величина Z, принадлежащая некоторому множеству, называется функцией двух аргументов x и y, принадлежащих другим множествам, если каждой паре допустимых значений (x, y) по некоторому правилу соответствует определенное значение величины Z:

Рис. 4.1. График функции Z = x² + y²

Z = f (x, y). (4.1)

Чаще всего функция двух аргументов задается формулой. Например, Z = x²y³ или Z = x² + y². Этот способ задания функции называется аналитическим. Однако функцию двух аргументов можно задавать и в виде таблицы или в виде графика.

Графиком функции одного аргумента y = f (x) является некоторая кривая на плоскости. В отличие от этого, графиком функции двух аргументов является поверхность.

Так, на рис. 4.1 изображен график функции Z = x² + y², который представляет собой поверхность. Эта поверхность называется параболоидом вращения.