Глава 3. Исследование функций с помощью производных

§ 3.1. ВОЗРАСТАЮЩИЕ И УБЫВАЮЩИЕ НА ИНТЕРВАЛЕ ФУНКЦИИ

Напомним определение возрастающей и убывающей функции.

Определение. Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале (a, b) если для любых двух точек x₁, x₂, принадлежащих этому интервалу, из условия x₂ > x₁ следует f (x₂) > /(x₁) (f(x₂) < /(x₁)). Если из условия x₂ > x₁ следует строгое неравенство f (x₂) > f (x₁) (f(x₂) < f(x₁)), то функция называется строго возрастающей (строго убывающей).

Так, функция, график которой изображен на рис. 3.1, является строго возрастающей на интервале (0, b) и строго убывающей на интервале (a, 0). На интервале (0, b) выбраны две точки - x₃ и x₄.

Функция, возрастающая или убывающая на некотором интервале (a, b), называется монотонной на этом интервале.

Возрастание и убывание функции на некотором интервале (a, b) связано со знаком производной. Можно сформулировать условия возрастания или убывания функции. При этом мы будем различать необходимые и достаточные условия, которые, вообще говоря, могут быть различными. В некоторых случаях необходимые и достаточные условия совпадают. Тогда говорят о необходимых и достаточных условиях.

При доказательстве теорем о достаточных условиях возрастания или убывания функции используется следующая теорема, называемая теоремой Лагранжа, которую мы приведем без доказательства.

Теорема 3.1 (теорема Лагранжа). Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b). Тогда существует точка c ∈ (a, b), такая, что

f(b) - f (a) = f '(a)(b - a).

Рис. 3.1. График функции, строго убывающей на интервале (a, 0) и строго возрастающей на интервале (0, b)