§ 2.1. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ
Приращение аргумента и приращение функции
Пусть дана функция y = f (x), определенная на некотором интервале, например, представленная на рис. 2.1. Рассмотрим два значения аргумента x0 и x1 = x0 + Δx, где Δx - произвольно задаваемое число, положительное или отрицательное, которое называется приращением аргумента.
Определение. Приращением функции Δy называется изменение функции, соответствующее приращению аргумента Δx:
&hide_Cookie=yes)
Например, найдем приращение функции y = x2 в точке x0, соответствующее приращению аргумента Δx:
&hide_Cookie=yes)
Определение производной функции. Производной функции y = f (x) в некоторой точке x называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует:
&hide_Cookie=yes)
Здесь y'(x) - обозначение производной функции в точке x (можно также писать f '(x)), Δy - приращение функции, соответствующее приращению аргумента Δx (производная y'(x) читается как «игрек штрих от икс»).
&hide_Cookie=yes)
Рис. 2.1. Приращение аргумента Δx и приращение функции Δy
Если производная функции y = f (x) существует в точке x, функция называется дифференцируемой в точке x. Если производная функции y = f (x) существует во всех точках некоторого промежутка (например, интервала), функция называется дифференцируемой на данном промежутке. В этом случае производная у'(x) также является некоторой функцией аргумента x.
В качестве примера найдем производную функции у = x2 в произвольной точке x, пользуясь определением (2.1) и найденным приращением этой функции:
&hide_Cookie=yes)
Операцию нахождения производной функции называют дифференцированием. Продифференцировать функцию означает найти ее производную.