§ 11.1. Статистическая и корреляционная зависимости
В главе 1 мы рассматривали функции, или функциональные зависимости двух величин x и y. Напомним, что зависимость величины y от величины x называется функциональной, если каждому допустимому значению величины x соответствует единственное значение величины y. Примером такой зависимости может служить давление воды p в зависимости от глубины h.
Однако в природе часто встречаются зависимости другого типа, при которых каждому значению величины x соответствует множество возможных значений величины y, характеризуемое некоторым распределением. Примером такой зависимости может быть зависимость веса мужчин или женщин от роста. Мы рассмотрим два типа таких зависимостей: статистическую и корреляционную.
Определение. Статистической зависимостью величины Y от величины X называется такая зависимость, при которой каждому возможному значению величины X соответствует множество возможных значений величины Y, характеризуемое определенным распределением, причем при изменении величины X распределение величины Y изменяется.
Частным случаем статистической зависимости является корреляционная зависимость.
Определение. Корреляционной зависимостью величины Y от величины X называется такая зависимость, при которой каждому возможному значению величины X соответствует множество возможных значений величины Y, характеризуемое определенным распределением, причем при изменении величины X изменяется только математическое ожидание величины Y.
Другие характеристики распределения Y при изменении X (например, дисперсия) в случае корреляционной зависимости не изменяются.
Математическое ожидание величины Y при некотором значении величины X называется условным математическим ожиданием и обозначается М( Y)x. В случае корреляционной зависимости условное математическое ожидание M( Y)x является функцией величины X, что можно записать в виде M(Y)X = f(х), (11.1)
где M(Y)X - условное математическое ожидание величины Y при заданном значении величины X; f(х) - некоторая функция.
Уравнение (11.1) называется уравнением регрессии Y на X.
Вид уравнения регрессии (т. е. вид функции / (х)) может быть разным. В частности, если функция f(х) является линейной, то уравнение (11.1) принимает вид
M(Y)X = ах + b, (11.2)
где a и b - некоторые постоянные коэффициенты. В этом случае зависимость называется линейной корреляционной зависимостью.