Глава 7. Дифференциальные уравнения

При описании многих процессов в физике, химии, биологии и других науках, а также при решении многих математических задач используются уравнения, содержащие производные функций. Например, второй закон Ньютона в случае прямолинейного движения тела имеет вид

ma = F,

где m - масса тела; a - ускорение; F - сила, действующая на тело. Вспоминая физический смысл второй производной (§ 2.4), записываем это уравнение в следующем виде:

где x - координата тела, которая является функцией времени x = x(t). Уравнения такого типа относятся к дифференциальным уравнениям. Вид функции x = x(t) может быть найден путем решения дифференциального уравнения (7.1) для определенной силы F и при некоторых дополнительных условиях. Перед рассмотрением способов решения таких уравнений приведем несколько общих определений.

Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию y = f (x), ее аргумент x и производные (или дифференциалы) функции разных порядков.

Обыкновенное дифференциальное уравнение в общем виде может быть записано следующим образом:

F(x, y, y, y", y⁽ⁿ⁾= 0,

где F - некоторое соотношение, связывающее x, y и производные различных порядков.

Например, уравнение

y = xy

является обыкновенным дифференциальным уравнением, поскольку содержит производную y'. Дифференциальное уравнение может не содержать аргумент x или функцию у, но обязательно должно содержать какую-либо производную или дифференциал.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Например, дифференциальное уравнение

У = xy

является уравнением первого порядка, так как содержит производную первого порядка у', а уравнение

у'' - 2у' + 6у = 0

является дифференциальным уравнением второго порядка.

Решением алгебраических уравнений (например, квадратного уравнения Δx² + bx + c = 0, где a, b и c - постоянные) являются некоторые значения аргумента x, т. е. числа. Решением дифференциального уравнения является функция.