Глава 2. Дифференциальное исчисление

2.1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ

СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Рассмотрим непрерывную функцию y = f(x), заданную на некотором отрезке [a, b]. Возьмем произвольную точку x₀ на этом отрезке и зададим приращение Δx такое, чтобы приращение аргумента x₀ + Δx не выходило за пределы отрезка. Тогда функция получит приращение (рис. 2.1):

Δy = f(x₀ + x) - f(x₀). (2.1)

Рис. 2.1. Геометрический смысл производной

Определение

Производной функции y = f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

(2.2)

Производная обозначается f' (x) («эф штрих от икс»), y' («игрек штрих») или («дэ игрек по дэ икс»).

Из рис. 2.1 следует, что предел отношения приращения функции к приращению аргумента при Δx → 0 определяет тангенс угла наклона касательной в точке М₀.

(2.3)

Отсюда следует, что геометрический смысл производной - угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x₀.

Если рассматривать функцию зависимости расстояния от времени s = f(t), то отношение пройденного расстояния ко времени будет характеризовать среднюю скорость движения. Тогда предел этого отношения при Δt → 0 будет определять мгновенную скорость движения в данный момент времени, то есть

(2.4)

Следовательно, физический смысл производной - мгновенная скорость изменения некоторого процесса в определенный момент времени. Важное значение производной состоит в том, что с ее помощью можно оценить изменения любых процессов и явлений природы.

Пример 2.1. Пусть численность популяции бактерий описывается функцией P(t) = 3000 + 100t², где t - время, измеряемое в часах. Определить скорость роста популяции и ее значение через 5 ч.