Приложение: СЛОВАРЬ и ФОРМУЛЫ

Закон распределения случайной величины (с.в.)

Нормальный закон N(µ, σ). С.в. непрерывного типа распределена по нормальному (гауссовскому) закону с параметрами µ и σ, если плотность распределения вероятностей этой с.в. задается формулой

, где - ∞ < x < ∞

Рис. 1. График плотности распределения вероятностей нормальной с.в. с параметрами µ =30, σ =10.15

Для нормально распределенной с.в. верно следующее утверждение. Вероятность того, что отклонение с.в. х от ее математического ожидания не превзойдет kσ, где k = 1, 2,3 а σ - стандартное отклонение, составляет:

P( | x – µ | < σ ) ≈ 0.683 (k=1); P( | x – µ | < 2σ ) ≈ 0.954 (k=2);

P( | x – µ | < 3σ ) ≈ 0.997 (k=3)

(2) Биномиальный (Бернулли) B(n,p). Используется для моделирования дихотомических данных – признаков, которые могут иметь только два значения. Случайная величина х распределена по биномиальному закону, если х – количество успехов в серии из n независимых испытаний с двумя исходами («успех» и «неуспех») при том, что вероятность успеха в каждом испытании одинакова и равна р. Вероятность того, что в серии из n испытаний количество успехов будет равно k, задается формулой Бернулли:

P(x=k) = C_n^k•p^k•(1-p)^n-k

(3) Полиномиальный – обобщение биномиального закона для схемы, когда в каждом из n независимых испытаний имеется r взаимоисключающих исходов A₁, A₂, …, A_r соответственно с вероятностями р₁, р₂,…, р_r; . Вероятности полиномиального распределения задаются формулой:

Это вероятность того, что в серии из n испытаний событие А₁ появится ровно n₁ раз, событие А₂ появится ровно n₂ раз, …, событие А_r появится ровно nr раз, причем

(4) С.в. х распределена по закону Пуассона с параметром λ (λ > 0), если она может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, … , а вероятности этих значений определяются формулой

.

Рис. 2. График закона распределения вероятностей Пуассона с параметром λ=5

Распределение Пуассона используют в качестве удобного приближения биномиального распределения в случае, когда р мало (р << 1), a n велико (n >> 100). В этом случае распределение Пуассона интерпретируется как «закон редких явлений». Параметр λ принимается равным np.

Выборка объема n – {x₁,x₂,…,x_n}

ряд значений (реализаций) с.в. х, подчиняющейся некоторому закону распределения (например, нормальному N(µ, σ), биномиальному B(n, p), Пуассона и т.д. или не имеющему параметрического вида).