Глава 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

6.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

При решении различных задач математики и физики, биологии и медицины довольно часто не удается сразу установить функциональную зависимость в виде формулы, связывающей переменные величины, которые описывают исследуемый процесс. Обычно приходится использовать уравнения, содержащие, кроме независимой переменной и неизвестной функции, еще и ее производные.

Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные различных порядков, называется дифференциальным.

Неизвестную функцию обычно обозначают y(x) или просто y, а ее производные - y', y" и т. д.

Возможны и другие обозначения, например: если y = x(t), то x"(t), x""(t) - ее производные, а t - независимая переменная.

Определение. Если функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения:

или

Функции F и f могут не содержать некоторых аргументов, но для того, чтобы уравнения были дифференциальными, существенно наличие производной.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него.

Например, x²y'- y = 0, y' + sinx = 0 - уравнения первого порядка, а y" + 2 y' + 5 y = x - уравнение второго порядка.

При решении дифференциальных уравнений используется операция интегрирования, что связано с появлением произвольной постоянной. Если действие интегрирования применяется n раз, то, очевидно, и в решении будет содержаться n произвольных постоянных.

6.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка определяется выражением

Уравнение может не содержать в явном виде x и y, но обязательно содержит у'.