Лекция 2. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. АКУСТИКА

И.О. Кривцова

2.1. гармонические колебания

Повторяющиеся движения или изменения состояния называют колебаниями (движение маятника, работа сердца и т.д.). Все колебания независимо от их природы имеют некоторые общие свойства.

Если колеблющаяся величина в зависимости от времени изменяется по закону косинуса или синуса, колебание называется гармоническим.

Свободные незатухающие колебания

Рассмотрим пружинный маятник (рис. 2.1). Согласно закону Гука, изменение упругой силы пропорционально изменению длины пружины или смещению х:

F = -kx, (2.1)

где k - жесткость пружины.

Рис. 2.1. Пружинный маятник

Если рассмотреть математический маятник (рис. 2.2), для него приближенно можно записать:

где x - смещение материальной точки относительно положения равновесия; l - длина нити маятника. Тогда:

где

Вспомним второй закон Ньютона:

Рис. 2.2. Математический маятник

Подставим (2.1) в (2.5), получим:

Заменим

тогда

Мы получили дифференциальное уравнение для свободных незатухающих колебаний. Решение этого уравнения приводит к гармоническому закону:

x = A· cos(ω₀t + φ₀), (2.9)

где ω₀t + φ₀ = φ - фаза колебаний; φ₀ - начальная фаза при t = 0; ω₀ - круговая частота колебаний; A - их амплитуда.

Величина ω₀ имеет важный физический смысл, так как определяет частоту колебаний:

Учитывая, что, период колебаний будет равен:

Согласно формуле (2.7) для пружинного маятника имеем:

Согласно формуле (2.4) для математического маятника:

Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания, можно получить из уравнения (2.9):

где υ_max = Aω₀ - амплитуда скорости (рис. 2.3, см. цв. вклейку, 2.4).

Ускорение материальной точки при гармонических колебаниях:

где a_max = Aω₀² - амплитуда ускорения (см. рис. 2.3 на цв. вклейке, 2.4).