6.1. Основные понятия и определения
При решении различных задач математики и физики, биологии и медицины довольно часто не удается сразу установить функциональную зависимость в виде формулы, связывающей переменные величины, которые описывают исследуемый процесс. Обычно приходится использовать уравнения, содержащие, кроме независимой переменной и неизвестной функции, еще и ее производные.
Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные различных порядков, называется дифференциальным.
Неизвестную функцию обычно обозначают y(x) или просто y, а ее производные - y', y" и т. д.
Возможны и другие обозначения, например: если y = x(t), то x"(t), x""(t) - ее производные, а t - независимая переменная.
Определение. Если функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения:
или
Функции F и f могут не содержать некоторых аргументов, но для того, чтобы уравнения были дифференциальными, существенно наличие производной.
Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него.
Например, x2y'- y = 0, y' + sinx = 0 - уравнения первого порядка, а y" + 2 y' + 5 y = x - уравнение второго порядка.
При решении дифференциальных уравнений используется операция интегрирования, что связано с появлением произвольной постоянной. Если действие интегрирования применяется n раз, то, очевидно, и в решении будет содержаться n произвольных постоянных.